Las preferencias homotéticas, también llamadas funciones homotéticas, son funciones en matemática que están ligadas a las homogénicas. Es decir, todas las funciones homogéneas son homotéticas. Estas funciones se usan con frecuencia en el ámbito matemático-económico.
Una función homogénea f de cualquier grado k es homotética. Pero no todas las funciones homotéticas son homogéneas. Una función f: R2→R es homotética si existe una función homogénea u y una función estrictamente creciente g tal que: F=g( u )
Podemos extender la definición de preferencias homotéticas a funciones de utilidad. Una relación de preferencia continua es homotética si y sólo si puede ser representada por una función de utilidad que sea homogénea de grado uno.
En otras palabras, las preferencias homotéticas se pueden representar mediante una función u () tal que u (αx) = αu (x) para todo x y α> 0.
Ten en cuenta que la definición no dice que cada función de utilidad que represente las preferencias deba ser homogénea de grado uno, solo que debe haber al menos una función de utilidad que represente esas preferencias y sea homogénea de grado uno.
La función f de dos variables X y Y definidas en un dominio D se dice que es homogénea de grado K si, para todo (x, y) en D
f (tx, ty) = t ^ kf (x, y)
Multiplicación de ambas variables por un factor positivo t multiplicarán así el valor de la función por el factor t ^ k.
- Cuando k = 1, la función de producción presenta rendimientos constantes a escala.
- Cuando k <1, la función de producción presenta rendimientos decrecientes a escala.
- Cuando k> 1, la función de producción presenta rendimientos crecientes a escala.
f es una función homotética siempre que para todo (x, y) en D , [f (x) = f (y), t> 0] implica f (tx) = f (ty)
¿Cómo sabemos si una función es homotética?
Una función es homotética si es una transformación monótona de una función homogénea.
Gráficamente, una función es homotética si las pendientes de sus curvas de nivel son todas iguales a lo largo de una línea dibujada desde el origen, es decir, si cada curva de nivel tiene la misma forma que todas las demás, en el sentido de que una es simplemente una expansión radial de la otra.
Ejemplos de Preferencias Homotéticas
- Todas las preferencias de los bienes sustitutivos perfectos son preferencias homotéticas.
- Las preferencias homotéticas son caracterizadas por curvas de indiferencia.