Proceso estocástico estacionario

0

Un proceso estocástico estacionario o simplemente proceso estacionario en matemáticas, es aquel en el que la media y la varianza no cambian con el tiempo. Esto es técnicamente «estacionariedad de segundo orden» o «estacionariedad débil».

Podemos clasificar procesos aleatorios basándonos en muchos criterios diferentes. Una de las preguntas importantes que podemos hacer sobre un proceso aleatorio es si es un proceso estacionario. Intuitivamente, un proceso aleatorio {X( t ) , t ∈ J} es estacionario si sus propiedades estadísticas no cambian con el tiempo. Por ejemplo, para un proceso estacionario, X( t ) y X( t + Δ )tienen las mismas distribuciones de probabilidad.

Proceso estocástico estacionario

En particular, tenemos:

FX( t )( x ) =FX( t + Δ )( x ) , para todo  t,t+Δ∈J.

Más generalmente, para un proceso estacionario, la distribución conjunta de X(t1) y X(t2) es lo mismo que la distribución conjunta de X(t1+ Δ ) y X(t2+ Δ ). Por ejemplo, si tiene un proceso estacionario X( t ), luego

PAGS( ( X(t1) , X(t2) ) ∈ A ) = P( ( X(t1+ Δ ) , X(t2+ Δ ) ) ∈ A ), para cualquier conjunto A ∈R2.

En resumen, un proceso aleatorio es estacionario si un cambio de tiempo no cambia sus propiedades estadísticas. Aquí hay una definición formal de estacionariedad de procesos de tiempo continuo.

En la práctica, es deseable que un proceso aleatorio X( t )esté estacionario. En particular, si un proceso es estacionario, su análisis suele ser más simple, ya que las propiedades probabilísticas no cambian con el tiempo.

Por ejemplo:

Supongamos que se necesita hacer una previsión sobre el futuro de un proceso X( t ). Si sabes que el proceso es estacionario, puede observar el pasado, lo que normalmente te dará mucha información sobre cómo se comportará el proceso en el futuro.

Sin embargo, resulta que muchos procesos de la vida real no son estacionarios en sentido estricto. Incluso si un proceso es estacionario en sentido estricto, puede ser difícil probarlo.

Afortunadamente, a menudo es suficiente mostrar una forma «más débil» de estacionariedad que la definida anteriormente.

Ejemplos de Proceso estocástico estacionario

  1. Un proceso estocástico estacionario se llama estacionario de sentido débil o estacionario de sentido amplio (WSS) si su función media y su función de correlación no cambian por cambios en el tiempo. Más precisamente, X( t ) es WSS si, para todos t1,t2∈ R y todo Δ ∈ R.
  2. Si la serie de tiempo no es estacionaria, a menudo podemos transformarla en un proceso estocástico estacionario.
  3. Un proceso aleatorio X ( t ) es un proceso estacionario de sentido amplio si su media es una constante (es decir, es independiente del tiempo), y su función de autocorrelación depende solo de la diferencia de tiempo.

Dejar respuesta

Please enter your comment!
Please enter your name here