Lema de Ito

El lema de Ito describe el cambio en el precio de las acciones de un momento a otro. Se puede describir así: «el cambio en el precio de las acciones en el tiempo t es igual a la tasa de rendimiento promedio de las acciones (durante un cierto período de tiempo), menos la tasa de dividendos continua de las acciones, multiplicado por el cambio en el tiempo, más la volatilidad de las acciones, multiplicado por el cambio de algún tipo de factor de aleatoriedad».

Publicado por primera vez en 1942 en japonés, esta teoría histórica de las ecuaciones diferenciales estocásticas describe evoluciones no deterministas y aleatorias. La denominada fórmula Ito ha encontrado aplicaciones en otras ramas de las matemáticas, así como en varios otros campos que incluyen, por ejemplo, la teoría de campo conforme en física, la teoría del control estocástico en ingeniería, la genética de poblaciones en biología y, más recientemente, las finanzas matemáticas en economía.

Kiyoshi Ito, un matemático cuyos innovadores modelos de movimiento aleatorio se utilizan hoy en día en campos tan diversos como las finanzas y la biología. Murió el 10 de noviembre en un hospital de Kioto, Japón, tenía 93 años. El Sr. Ito es conocido por sus contribuciones a la teoría de la probabilidad, el estudio de la aleatoriedad. Su trabajo, que comenzó en la década de 1940, se basó en los avances anteriores de Albert Einstein y Norbert Wiener.

Lema de ito

¿Qué es un proceso estocástico?

Hay dos tipos de procesos estocásticos: discretas y continuas. Los valores discretos se pueden observar midiendo valores en ciertos intervalos de tiempo, como cada semana, durante un cierto período de tiempo, como un año. Continuo significa que el tiempo en los intervalos se ha reducido a muy, muy pequeño y hay una cantidad infinita de intervalos.

¿Cómo ayuda el lema de Ito?

Debido a que el valor de un derivado se basa en un activo subyacente, como una acción, el lema de Ito se puede utilizar para mostrar la relación entre los dos.

Al usar la fórmula de expansión de la serie de Taylor de dos variables (solo se pueden usar los primeros tres términos porque después, el número se vuelve tan pequeño que no vale la pena calcularlo a mano), el valor de una opción se puede expresar en términos de las derivadas de la opción value y el proceso Ito.

Es el análogo de la regla de la cadena de cálculo común para el cálculo estocástico, y se memoriza mejor a partir de la expansión en la serie de Taylor que separa el término de segundo orden relacionado con el cambio en el componente estocástico. El lema se aplica ampliamente en el área de las finanzas matemáticas y su uso más conocido es la demostración de la ecuación de Black-Scholes., utilizado para fijar el precio de las opciones.

Por ende, podemos usar el lema de Ito para ayudar a definir el movimiento browniano, que es una categoría más específica bajo el paraguas de la fórmula del lema  de Ito. Y debido a la fórmula de valoración de opciones anterior, ahora podemos aplicar el lema de Ito a la ecuación de Black-Scholes (que sigue un movimiento browniano geométrico) para ayudarnos a valorar cualquier derivado con una acción como activo subyacente.

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